endobj 55 0 obj <>stream Étant donné que les quatre (six en 3d) directions sont équiprobables, on a \tau=\frac{m}{6\pi\,\eta\,a}\] Il serait plus juste d’appeler cette loi, relation de Sutherland-Einstein. On retrouve la loi d’étalement en \(\sqrt{t}\). L'équa-tion traduisant la conservation du nombre de particules, à une dimension, prend la forme (2). \iiint_{\mathcal{V}}\text{div}\overrightarrow{A}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z Dans ce cas, le chemin parcouru par la particule est une marche aléatoire à pas indépendants dont l’allure est représenté sur l'anmation suivante. Le nombre \(N_t\) de collisions pendant la durée \(t\) correspond aussi au nombre d’atomes que l’on trouve dans le volume \(\mathcal{V}_t\) en supposant la densité volumique \(n\) uniforme : \[ Le libre parcours moyen augmente quand la pression diminue. \[ Par un bilan de particules, on établit l'équation de diffusion pour un problème à symétrie cylindrique. \[n=\frac{N}{V}=\frac{\overline{p}}{k_{B}T} La probabilité \(P(x,y,t+\tau)\) est donc donnée par le produit de la probabilité que la particule soit en \((x-\ell,y)\) à l’instant \(t\) et de la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(\overrightarrow{u_x}\), auquel on ajoute le produit de la probabilité que la particule soit en \((x+\ell,y)\) à l’instant \(t\) par la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(-\overrightarrow{u_x}\), etc. L’aire \(\sigma\) est appelée section efficace de collision. Identifier vitesse de groupe et vitesse de la particule. Plaçons par exemple 5000 particules au centre d’un carré de côté \(L\) et filmons l’évolution de ce paquet au cours de leur marche aléatoire. Utiliser l’équation de Schrödinger pour la partie spatiale φ(x). \] \end{array}\right. FEMTO - Cours de physique statistique. 3. \qquad\Longrightarrow\qquad chocs sont nombreux et les transports diffusifs efficaces (diffusion de particules, de la chaleur, de la quantité de mouvement). Cette vitesse est une grandeur moyenne et locale du point de vue macroscopique. La marche aléatoire est un modèle de base pour décrire les phénomènes de transport à l’échelle microscopique. Historiquement, le phénomène de diffusion fut abordé de façon phénoménologique par une description macroscopique. \iint_{\mathcal{S}}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{d}S} = On peut donc exprimer l’évolution temporelle de la dimension du nuage de particules : Une façon d’éliminer le phénomène de convection consiste à s’affranchir de la poussée d’archimède en réalisant l’expérience en micro-gravité. La vitesse d’étalement diminue au cours du temps. \quad\Rightarrow\quad Transport de matière : Diffusion de particules 0. \[\overrightarrow{\text{OB}}=\overline{\overrightarrow{\text{OP}_N}}=\sum_{k=1}^N \overline{\overrightarrow{\ell_k}}\] Par définition, \(j_{n}\) désigne le nombre de particules traversant une surface \(\text{d}S\) par unité de temps et par unité de surface. Par ailleurs, on a montré que \(D=\ell^2/6\tau\) en 3d de sorte que on a la loi de diffusion, La simulation suivante met en évidence cette loi : Elle consiste à simuler, dans un espace à deux dimensions, le mouvement aléatoire de 1000 particules, initialement situées en O. À chaque pas on calcule la distance quadratique moyenne puis on trace le graphe \(R^2=f(N)\). Il serait assez naturel d’exprimer la distance moyenne \(\overline{\text{OP}_N}\) mais le calcul n’est pas simple et il est préférable de calculer la distance quadratique moyenne Notre raisonnement s’inscrit donc dans le cadre du modèle continu des particules au point M à l’instant \(t\) et \(\overrightarrow{\text{d}S}\) l’élément de surface au voisinage de M, alors les particules qui traversent la section \(\text{d}S\) pendant \(\text{d}t\) se trouvent dans un prisme de base \(\text{d}S\) et dont les génératrices sont parallèles à \(\overrightarrow{v}\) et de longueur \(v\;\text{d}t\). L' équation de diffusion est une équation différentielle partielle. \frac{\ell^2}{4\tau}\left(\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}\right)\] \text{div}\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=\triangle f Ainsi on prévoit, comme le montre la simulation, que \(R^2\) croît linéairement au cours du temps, puis s'infléchit pour tendre vers la valeur maximale \(L^2/6\), lorsque les premières particules atteignent les bords. En effet, si l'on attend suffisamment longtemps, les particules se répartissent de façon homogène dans le cadre. Le phénomène de diffusion fut d’abord modélisé à l’aide d’une loi phénoménologiqueLoi de comportement qui permet de décrire, dans un certain domaine de validité, un phénomène. Pour quantifier un transport de particules, on définit une quantité appelé densité de courant de particules \(j_{n}\). Supposons que l’on dispose une goutte d’encre sur une surface liquide. \] Par construction \(\overline{\overrightarrow{f}(t)}=\overrightarrow{0}\). \phi_{\text{entrant}} &=& j_{n}(x,t)\,S-j_{n}(x+\text{d}x,t)S \\ 1.1.1 Établissement de l'équation de di usion On veut étudier l'évolution d'une population de particules dans un milieu matériel, comme par exemple des neutrons dans un c÷ur de réacteur nucléaire. 10.1 Flux de particules. \qquad\text{avec}\qquad Le même calcul pour \(y\) donne le même résultat de sorte que \[\nu_{\rm c}=\frac{N_t}{t}=n\,\sigma\,\overline{v_{r}} \quad [\mathrm{Hz}]\] \[ \text{en 1d}\quad R(t)&=&\sqrt{2D\;t} \[\tau=\frac{(L/2)^{2}}{6D}\] Par définition, le libre parcours moyen ℓℓ est la distance moyenne entre deux collisions successives. \[\overrightarrow{\text{OP}_N}=\sum_{k=1}^N \overrightarrow{\ell_k}\] Ainsi \(D\sim 10^{-5}\;\mathrm{m^2.s^{-1}}\) ce que confirme les valeurs du tableau 1. \[R(t)=\sqrt{\frac{\ell^2}{\tau}t}\] \[\text{OP}_N^2 =\left(\sum_{k=1}^N \overrightarrow{\ell_k}\right)^2 Loi de diffusion macroscopique simulée avec 1000 particules browniennes (cliquer pour voir/arrêter l'animation). Ainsi on a \(\overline{v_r}=\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}}\overline{v_2}\) et le libre parcours moyen de B dans le gaz s'écrit En réalité cette longueur est aléatoire et le résultat précédent doit être modifié. \qquad\text{avec}\qquad ||\overrightarrow{\ell_k}||=\ell\] \[\text{d}\phi=\overrightarrow{\jmath_{n}}\cdot\overrightarrow{\text{d}S}\] En d’autres termes, il n’y a pas de mouvement d’ensemble et donc pas de convection ce qui est tout a fait cohérent avec le fait qu’aucune direction n’est privilégiée. Intéressons nous au mouvement suivant \(x\) en projetant la seconde loi de Newton sur O\(x\) : Ainsi en moyenne le produit \(x\dot x\) vérifie c'est l'équation de la diffusion à une dimension. L’isotropie du processus se révèle macroscopiquement car il s’agit d’une propriété statistique. Soit u(x,y,t)la fonction vérifiant l'équation de diffusion suivante : Dest le coefficient de diffusion. Elle traduit donc un phénomène irréversible. C’est cette approche que nous suivons ici. Le paquet va donc s’étaler de façon isotrope à partir de O. Intéressons nous au rayon caractéristique du paquet de particules. Le phénomène de diffusion est extrêmement lent. \[D=\frac16\frac{\ell^2}{\tau}\], Le coefficient de diffusion d'une particule dans un fluide dépend directement du libre parcours moyen et de la durée entre deux collisions. D’autre part, si l’on suppose que \(x\) et \(f_x\) ne sont pas corrélés, on a \(\overline{xf_x}=\overline{x}\overline{f_x}=0\). L'équation de diffusion est : où Dest le coefficient de diffusion et s(x,t)représente une source, par exemple une source thermique provenant d'un phénomène de dissipation. destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Cependant le processus à l’œuvre est différent. On montre que la vitesse relative moyenne entre A et B vaut \(\overline{v_r}=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi \mu}}\) avec \(\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\), la masse réduite. \] La solution de cette équation différentielle linéaire s’écrit : Selon la loi de Fick, le coefficient de diffusion est le rapport entre le flux de matière diffusante, (c… Equation de conservation locale de particules (3D) div −→ j + ∂n ∂t = 0 Sans perte ni création de matière L. Menguy, PSI*, Lycée Montesquieu, Le Mans Diffusion de particules. \end{array} Nous proposons de calculer le libre parcours moyen dans un gaz à partir d’un modèle simpliste : le modèle des sphères dures. \end{array}\], Il ne s’agit pas de la vitesse des molécules mais bien de la vitesse d’ensemble d’une collection mésoscopique de particules. Dans ce cas, l’équation de diffusion devient \[\triangle n=0\] La densité de particules \(n(x,y,z)\) vérifie alors l’équation de Laplace. &=& D\,S\left[-\dfrac{\partial n}{\partial x}(x,t)+\dfrac{\partial n}{\partial x}(x+\text{d}x,t)\right]\\ On se propose d’exposer ici non pas l’approche d’Einstein mais plutôt celle de Paul Langevin qu’il a publiée dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences en 1908. Quand les paramètres intensifs varient dans le milieu d’un point à un autre et/ou au cours du temps, le système est hors équilibre thermodynamique. \[\frac{\text{d}N}{\text{d}t}(t)=\iiint_{\mathcal{V}}\frac{\partial n}{\partial t}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z\] On obtient : Les atomes sont représentés par des sphères indéformables de rayon \(r\) dont la distribution des vitesses est donnée par la loi de Maxwell-Boltzmann. L’équation de diffusion est la relation qui régit l’évolution spatio-temporelle de la densité de particules. Pour nous en convaincre nous allons considérer une marche aléatoire discrète sur un réseau carré de maille \(\ell\) (le libre parcours moyen). Considérons une particule P dont la position après \(k\) collisions est notée P\(_k\). \[ \text{div}(D\overrightarrow{\text{grad}}n)=\frac{\partial n}{\partial t}\] En effet, William Sutherland soumit un article en mars 1905, où cette relation était obtenue par une méthode similaire. puis prenons la moyenne sur un grand ensemble de particules On a donc \overline{\overrightarrow{\ell_k}}\cdot\overline{\overrightarrow{\ell_j}} = 0\] On obtient une relation de récurrence dite équation maitresse du processus : Elle est le résultat d’un bilan de matière associé à la loi de Fick. L’énoncé de la loi de Fick, formulé dans le cadre des solutions, remonte à 1855. A synthetic kinetic theory of gases experiment, Kinetic theory : understanding nature through collisions, Le mouvement brownien, "divers et ondoyant", Solutions to boundary value problems of the potential type by random walk method, Monte Carlo of Brownian motion with viscous drag, Le mouvement brownien et la théorie du potentiel, Les vols de Levy ou la diffusion non brownienne, Les probabilités et le mouvement brownien, Le mouvement brownien dans les différents champs de connaissance, Wendelin-Werner : Médaille Fields 2006 pour ses travaux sur le mouvement brownien. Le moteur de la convection est la poussée d’archimède qui, associée a des gradients thermiques, produit des écoulements de fluide. Un coefficient de diffusion est une grandeur caractéristique du phénomène de diffusion de la matière. \] Cette diffusion de particules est caractérisée par le coefficient de dif fusion D. Il y a consommation de particules le long du tuyau avec le coefficient α, en moles par secondes et par mètres, uniforme et constant. Cas unidimensionnel Tube de courant (S) ≠æu x (x) (x+dx) • ≠æä n(x,t) • ≠æä (x +dx,t) Fig. Il considère une particule sphérique de masse \(m\) et de rayon \(a\) en suspension dans un liquide et se mouvant à la vitesse \(\overrightarrow{v}\). La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire qui s'écrit en coordonnées cartésiennes Le résultat est illustré sur l'animation suivante. \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\] où \(\overline{\ell^2}\) désigne le carré moyen du libre parcours entre deux collisions. Eh bien oui ! Cas avec production et disparition de particules 2.3. 2019. Calcul de la fonction de partition électronique. La fonction s(x,y,t)est la source. \[\frac{\partial P}{\partial t} = Bien que la formule \eqref{eq:C3LibreParcoursMoyen} ne soit valable que pour les milieux peu denses, on peut conclure que dans un liquide les molécules se déplacent très peu entre deux collisions. \[ C’est FickL’énoncé de la loi de Fick, formulé dans le cadre des solutions, remonte à 1855. qui le premier énonça le fait que le courant de matière qui diffuse est proportionnel au gradient de concentration. \] Faire le lien avec l’inégalité de Heisenberg spatiale. Ce n’est qu’à la fin du dix-neuvième siècle que les physiciens ont commencé à s’intéresser sérieusement à la question et à soupçonner une origine atomique. \sigma=\pi (r_1+r_2)^2 Pour l’eau par exemple on a \(\ell\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}\) ce qui est comparable à la taille des molécules. Quel est l'ordre de grandeur du temps qu'il faut pour qu'un parfum emplisse de façon uniforme un pièce de \(3\times3\times3\;\mathrm{m^{3}}\)? \[\overline{\overrightarrow{\ell_k}\cdot\overrightarrow{\ell_j}} = Notes de cours: Diffusion & convection; Bilan de particules Vecteur densité de courant de particules; Bilan de particules à une dimension Cas de conservation; Cas général; Bilan de particules à trois dimensions Écriture intégrale; Écriture locale; Équation de diffusion particulaire Loi de Fick … On obtient ce que les mathématiciens appellent une équation différentielle stochastique. \quad\text{et}\quad \[\overline{x^2}=2Dt \qquad\text{avec}\qquad D=\frac{RT}{6\pi\eta a \mathcal{N}_a}\] En déduire l'équation de la diffusion : 2 Ë=D----â 2 . On appelle \(b\) le paramètre d’impact, c’est-à-dire la distance entre les deux droites qui portent les vitesses relatives des deux atomes. ©J.ROUSSEL - article sous licence Creative Commons. En physique, on décrit le comportement de la motion collective de micro-particules dans un matériau résultant d'un mouvement aléatoire de chaque micro-particule. Ce prisme a pour volume Une loi phénoménologique. Le phénomène est isotrope : on voit clairement que l’étalement ne suit pas une direction particulière mais toutes les directions. Phénomène de diffusion E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) … \[\overline{\overrightarrow{\ell_k}} = Nous proposons de calculer le libre parcours moyen dans un gaz à partir d’un modèle simpliste : le modèle des sphères dures. D=\frac16 \frac{\overline{\ell^2}}{\tau} Nous avons considéré que les particules effectuent des pas de longueur \(\ell\) constante. Enfin si l’on intègre la relation précédente au cours du temps, sachant que \(\overline{x\dot x} = 1/2\mathrm{d}(\overline{x^2})/\mathrm{d}t\) et en supposant \(\overline{x^2}(0) = 0\), on trouve. On rencontre ce phénomène dans de nombreuses situations comme, par exemple : La diffusion reste un phénomène assez lent en général. Cherchant à décrire le comportement collectif du paquet de particules nous nous intéressons tout d’abord au barycentre B du nuage de particules. Le déplacement issu de la \(k\)-ème collision est une quantité aléatoire mais de norme constante que l’on note \(\ell\) : \end{equation} mercredi 7 octobre 2020, par pierre, Version imprimable. On peut relier le vecteur densité de courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) au mouvement d’ensemble de ces particules. \[\text{d}\phi=\frac{n\times\text{d}\tau}{\text{d}t}=n(M,t)\overrightarrow{v}(M,t)\cdot\overrightarrow{\text{d}S} Dans le cas particulier d’un fluide isolé en équilibre thermodynamique \(v=0\) soit \(j_n=0\). \text{div}\overrightarrow{A} = Si l’on note \((x_k, y_k)\) les coordonnées du point après \(k\) déplacements, alors le (\(k\)+1)-ème pas est tel que : \[\begin{array}{rcl} En réalité la convection accélère le phénomène. \[\text{d}\tau=\text{d}S\times v\,\text{d}t\times\cos\theta=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\text{d}S}\;\text{d}t\] En régime stationnaire, la densité moléculaire ne dépend plus du temps : \(\partial n/\partial t=0\). de telle sorte que Et alors ? On fait les hypothèses simplificatrices suivantes : Pour simplifier notre propos limitons nous à un espace à deux dimensions, l’extension à trois dimensions ne posant pas de problème. \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{u}_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{u}_{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{u}_{z} \[N(t)=n(x,t)\,S\,\text{d}x\] Après \(N\) collisions, la particule se trouve en P\(_N\) telle que Il s’agit ici d’une moyenne temporelle. \[ \[ D\sim \frac{\ell^2}{\tau}=\ell\overline{v} \]. Le gradient d'un champ scalaire est un champ vectoriel qui s'écrit en coordonnées cartésiennes L'équation de diffusion est une équation aux dérivées partielles.En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. L’équilibre thermodynamique d’un système isolé suppose l’uniformité de tous ses paramètres intensifs dans l’espace et le temps. Diffusion de particules. \[\ell=\overline{v}\frac{1}{\nu_{\rm c}}=\frac{\overline{v}}{n\,\sigma\,\overline{v_{r}}}\] Il montre que si l’on admet qu’une particule en suspension est le siège de nombreuses collisions de la part des hypothétiques molécules de liquide, il est alors possible de déterminer le nombre d’Avogadro uniquement en vérifiant que le mouvement brownien est régit par la loi de diffusion ���Ԅ�p��޵Kߪ���P_�|�2>�i\���c��k�TL[bv=�F�W|�Q��JJ�F6D�0�B�A��}y�A������=�C�dcηa���>�h�׌HA�.�����1"Q�� b@��VL���Y`�?��)"��"J� \[N_{t}=n\,\sigma\,\overline{v_r}t\] \text{div}\overrightarrow{\jmath_{n}}+\frac{\partial n}{\partial t} &=& 0 Or, on montre que la vitesse relative moyenne est reliée simplement à la vitesse moyenne par la relation \(\overline{v_{\rm r}}=\sqrt{2}\overline{v}\) de sorte que l’on retiendra. En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. 2) 2D, le coefficient de diffusion, est homogène à une longueur /temps. D’une part, la particule étant en équilibre thermique avec le liquide, on a, en vertu du théorème d’équipartition de l’énergie On cherche une solution numérique de cette équation pour une fonction s(x,t)donnée, sur l'intervalle [0,1], à partir de l'instant t=0. … On a donc On peut montrer que la viscosité est une propriété macroscopique indépendante de la nature continue ou discontinue de la matière. Elle s'écrit, dans le cas d'un problème à une dimension, sous la forme (1). Ainsi on retrouve l’équation de diffusion \eqref{eq:C6EquationDiffusion}. Lois de la diffusion 2.1. 1 Problème physique: convection dans un fluide. \[ En d’autres termes, le courant de particules tend à rétablir l’uniformité de concentration. \[\begin{array}{rcl} 3. ment on arrive à établir les équations de di usion et de transport qui sont les principaux objets mathématiques étudiés dans ce cours. \[ \overrightarrow{\jmath_{n}}=-D\overrightarrow{\text{grad}}n=-D\overrightarrow{\nabla}n \] On note que dans un gaz peu dense, le libre parcours moyen est très grand devant la distance inter-atomique \(d=(V/N)^{1/3}\sim 3\,\mathrm{nm}\). Suivons l’atome A au fil de ses nombreuses collisions. Dans ce cas le flux de \(\overrightarrow{j_{n}}\) donne le flux molaire (en \(\mathrm{mol.s^{-1}}\)). Ainsi, ce nombre varie au cours du temps via Une loi phénoménologique n’est pas fondamentale.. Lorsqu’un système est dans une situation où la densité de particules varie spatialement, il est le siège d’un phénomène de transport de particules cherchant à rétablir l’uniformité de la concentration. \overrightarrow{\jmath_{n}} &=& -D\overrightarrow{\text{grad}}n \\ Autrement dit, si la trajectoire de B passe par le disque centré en A d’aire \(\sigma=4\pi r^2\), il y aura collision. On peut aussi écrire \(\overrightarrow{\jmath_{n}}=-D\overrightarrow{\nabla}c\) où \(c\) est la concentration molaire (en \(\mathrm{mol.m^{-3}}\)). La loi phénoménologique de Fick s’applique aussi bien aux solides (diffusion d’impuretés dans les solides) que dans les fluides. Bilan de particules : équation de conservation 2.2. \[ \tau\sim 10\,\mathrm{H} \] 5.2.1 Flux et densité de courant de particules … \frac14 \overrightarrow{u_x}-\frac14 \overrightarrow{u_x}+\frac14 \overrightarrow{u_y}-\frac14 \overrightarrow{u_y} \[m\frac{\mathrm{d}\overline{x\dot x}}{\mathrm{d}t}=m\overline{v^2}-6\pi\eta\,a \,\overline{x\dot x}+\overline{xf_x(t)}\] donne un ordre de grandeur du temps de diffusion. Dans l’eau, les molécules d’eau possèdent un libre parcours moyen de l’ordre de \(10^{-10}\;\mathrm{m}\) et une vitesse moyenne de l’ordre de \(10^2\;\mathrm{m.s^{-1}}\) d’où \(D\sim 10^{-8}\;\mathrm{m^2.s^{-1}}\). Il permet de prévoir la dépendance du coefficient de diffusion avec la température et la pression. En d’autres termes, si une fonction vérifie l’équation de diffusion tout en étant compatible avec les conditions aux limites, alors c’est la solution. Le coefficient de diffusion \(D\) s’exprime en \(\mathrm{m^{2}s^{-1}}\). On a donc \ell=\frac{\overline{v_2}}{n\,\sigma\,\overline{v_{r}}}=\frac{1}{n\sigma}\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}} Loi phénoménologique de Fick 2.4. Rappelons que dans notre modèle de marche aléatoire, chaque pas est indépendant des pas précédents de sorte que Flux de particules – Vecteur densité de courant 1.3. \ell=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\sigma \overline{p}}\] Nous proposons deux approches diérentes. Ce type de loi nommée loi de diffusion en mathématiques apparaît dans les systèmes décrivant un transport (masse, énergie, etc.) Jean Perrin reçu le prix Nobel en 1926 pour ses travaux sur le mouvement brownien. �a٣t�� Autrement dit, la probabilité qu'un point de l'espace soit visité tend-t-elle vers 1 lorsque \(N\to \infty\) ? Reliant le flux de matière au gradient de concentration, elle est analogue à l'équation de la chaleur introduite par Joseph Fourier [2] en 1822. En effet, William Sutherland soumit un article en mars 1905, où cette relation était obtenue par une méthode similaire. Exercices – Diffusion de particules Exercice 1 : Diffusion de neutrons, avec terme de création On étudie la diffusion unidirectionnelle de neutrons dans un barreau de plutonium cylindrique d’axe Ox et de section droite d’aire S, s’étendant entre les abscisses x = 0 et x = L. On note n(M,t) le nombre de neutrons par unité de volume. \[\overline{x\dot x}=\frac{RT}{6\pi\,\eta\,a\,\mathcal{N}_a}+\mathrm{C^{te}}\mathrm{e}^{-t/\tau} De façon formelle, \(\phi\) est le flux du vecteur \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) à travers la surface : Effet collectif de 5000 marches aléatoires (cliquer pour voir/arrêter l'animation). Délimitons, par la pensée, un volume \(\mathcal{V}\) fixe et indéformable puis notons \(N(t)\) le nombre de particules au sein de ce volume, à l’instant \(t\). Par ailleurs, on a \(\ell_k^2=\ell^2\). =\sum_k \ell_k^2+\sum_{k\neq j}\overrightarrow{\ell_k}\cdot\overrightarrow{\ell_j}\] où le terme \(-\alpha \overrightarrow{v}\) désigne la force moyenne qui tend à freiner la particule brownienne. Equation de Fick. Considérons un système constitué de particules en mouvement et donc soumis à un courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}(x,y,z,t)\) en tout point du système. I��H�̮��\�(�?Q{y ��d�:������J���q�����͹���,�lo���7��E`�8�n����u�#�*�#�����,�av� ��p�\'94���پ��j��Д��^l��׉�Wb����L2�mG�B�r��q��%�5����A-��l)�|`=Κ�=&^��R���(�R2 ��(������N��Q�{'s@�֫�mk��'�E@�̶maO_IR�D�G��N����G/;���Ϝ�}���G�Y�w�H�5��ׂl>\��� ���ǎ����^K�_�\K�[�y En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. Il serait plus juste d’appeler cette loi, relation de Sutherland-Einstein. L'art S'inspire De La Nature, Ostéopathe Amboise Hervé, Charme 9 Lettres, Camping L'orée Des Bois Royan, Groupe Biomag Vos Résultats, Le Petit Bain Hyères, Pic De Morgon Visorando, Tuto Guitare Rock Collection, Tribunal Du Travail, Juste Pour Avoir De Tes Nouvelles, Sphinx Colibri Piqure, Pv Assemblée Générale Constitutive Sarl Maroc, Masque Psg Covid, " /> endobj 55 0 obj <>stream Étant donné que les quatre (six en 3d) directions sont équiprobables, on a \tau=\frac{m}{6\pi\,\eta\,a}\] Il serait plus juste d’appeler cette loi, relation de Sutherland-Einstein. On retrouve la loi d’étalement en \(\sqrt{t}\). L'équa-tion traduisant la conservation du nombre de particules, à une dimension, prend la forme (2). \iiint_{\mathcal{V}}\text{div}\overrightarrow{A}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z Dans ce cas, le chemin parcouru par la particule est une marche aléatoire à pas indépendants dont l’allure est représenté sur l'anmation suivante. Le nombre \(N_t\) de collisions pendant la durée \(t\) correspond aussi au nombre d’atomes que l’on trouve dans le volume \(\mathcal{V}_t\) en supposant la densité volumique \(n\) uniforme : \[ Le libre parcours moyen augmente quand la pression diminue. \[ Par un bilan de particules, on établit l'équation de diffusion pour un problème à symétrie cylindrique. \[n=\frac{N}{V}=\frac{\overline{p}}{k_{B}T} La probabilité \(P(x,y,t+\tau)\) est donc donnée par le produit de la probabilité que la particule soit en \((x-\ell,y)\) à l’instant \(t\) et de la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(\overrightarrow{u_x}\), auquel on ajoute le produit de la probabilité que la particule soit en \((x+\ell,y)\) à l’instant \(t\) par la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(-\overrightarrow{u_x}\), etc. L’aire \(\sigma\) est appelée section efficace de collision. Identifier vitesse de groupe et vitesse de la particule. Plaçons par exemple 5000 particules au centre d’un carré de côté \(L\) et filmons l’évolution de ce paquet au cours de leur marche aléatoire. Utiliser l’équation de Schrödinger pour la partie spatiale φ(x). \] \end{array}\right. FEMTO - Cours de physique statistique. 3. \qquad\Longrightarrow\qquad chocs sont nombreux et les transports diffusifs efficaces (diffusion de particules, de la chaleur, de la quantité de mouvement). Cette vitesse est une grandeur moyenne et locale du point de vue macroscopique. La marche aléatoire est un modèle de base pour décrire les phénomènes de transport à l’échelle microscopique. Historiquement, le phénomène de diffusion fut abordé de façon phénoménologique par une description macroscopique. \iint_{\mathcal{S}}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{d}S} = On peut donc exprimer l’évolution temporelle de la dimension du nuage de particules : Une façon d’éliminer le phénomène de convection consiste à s’affranchir de la poussée d’archimède en réalisant l’expérience en micro-gravité. La vitesse d’étalement diminue au cours du temps. \quad\Rightarrow\quad Transport de matière : Diffusion de particules 0. \[\overrightarrow{\text{OB}}=\overline{\overrightarrow{\text{OP}_N}}=\sum_{k=1}^N \overline{\overrightarrow{\ell_k}}\] Par définition, \(j_{n}\) désigne le nombre de particules traversant une surface \(\text{d}S\) par unité de temps et par unité de surface. Par ailleurs, on a montré que \(D=\ell^2/6\tau\) en 3d de sorte que on a la loi de diffusion, La simulation suivante met en évidence cette loi : Elle consiste à simuler, dans un espace à deux dimensions, le mouvement aléatoire de 1000 particules, initialement situées en O. À chaque pas on calcule la distance quadratique moyenne puis on trace le graphe \(R^2=f(N)\). Il serait assez naturel d’exprimer la distance moyenne \(\overline{\text{OP}_N}\) mais le calcul n’est pas simple et il est préférable de calculer la distance quadratique moyenne Notre raisonnement s’inscrit donc dans le cadre du modèle continu des particules au point M à l’instant \(t\) et \(\overrightarrow{\text{d}S}\) l’élément de surface au voisinage de M, alors les particules qui traversent la section \(\text{d}S\) pendant \(\text{d}t\) se trouvent dans un prisme de base \(\text{d}S\) et dont les génératrices sont parallèles à \(\overrightarrow{v}\) et de longueur \(v\;\text{d}t\). L' équation de diffusion est une équation différentielle partielle. \frac{\ell^2}{4\tau}\left(\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}\right)\] \text{div}\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=\triangle f Ainsi on prévoit, comme le montre la simulation, que \(R^2\) croît linéairement au cours du temps, puis s'infléchit pour tendre vers la valeur maximale \(L^2/6\), lorsque les premières particules atteignent les bords. En effet, si l'on attend suffisamment longtemps, les particules se répartissent de façon homogène dans le cadre. Le phénomène de diffusion fut d’abord modélisé à l’aide d’une loi phénoménologiqueLoi de comportement qui permet de décrire, dans un certain domaine de validité, un phénomène. Pour quantifier un transport de particules, on définit une quantité appelé densité de courant de particules \(j_{n}\). Supposons que l’on dispose une goutte d’encre sur une surface liquide. \] Par construction \(\overline{\overrightarrow{f}(t)}=\overrightarrow{0}\). \phi_{\text{entrant}} &=& j_{n}(x,t)\,S-j_{n}(x+\text{d}x,t)S \\ 1.1.1 Établissement de l'équation de di usion On veut étudier l'évolution d'une population de particules dans un milieu matériel, comme par exemple des neutrons dans un c÷ur de réacteur nucléaire. 10.1 Flux de particules. \qquad\text{avec}\qquad Le même calcul pour \(y\) donne le même résultat de sorte que \[\nu_{\rm c}=\frac{N_t}{t}=n\,\sigma\,\overline{v_{r}} \quad [\mathrm{Hz}]\] \[ \text{en 1d}\quad R(t)&=&\sqrt{2D\;t} \[\tau=\frac{(L/2)^{2}}{6D}\] Par définition, le libre parcours moyen ℓℓ est la distance moyenne entre deux collisions successives. \[\overrightarrow{\text{OP}_N}=\sum_{k=1}^N \overrightarrow{\ell_k}\] Ainsi \(D\sim 10^{-5}\;\mathrm{m^2.s^{-1}}\) ce que confirme les valeurs du tableau 1. \[R(t)=\sqrt{\frac{\ell^2}{\tau}t}\] \[\text{OP}_N^2 =\left(\sum_{k=1}^N \overrightarrow{\ell_k}\right)^2 Loi de diffusion macroscopique simulée avec 1000 particules browniennes (cliquer pour voir/arrêter l'animation). Ainsi on a \(\overline{v_r}=\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}}\overline{v_2}\) et le libre parcours moyen de B dans le gaz s'écrit En réalité cette longueur est aléatoire et le résultat précédent doit être modifié. \qquad\text{avec}\qquad ||\overrightarrow{\ell_k}||=\ell\] \[\text{d}\phi=\overrightarrow{\jmath_{n}}\cdot\overrightarrow{\text{d}S}\] En d’autres termes, il n’y a pas de mouvement d’ensemble et donc pas de convection ce qui est tout a fait cohérent avec le fait qu’aucune direction n’est privilégiée. Intéressons nous au mouvement suivant \(x\) en projetant la seconde loi de Newton sur O\(x\) : Ainsi en moyenne le produit \(x\dot x\) vérifie c'est l'équation de la diffusion à une dimension. L’isotropie du processus se révèle macroscopiquement car il s’agit d’une propriété statistique. Soit u(x,y,t)la fonction vérifiant l'équation de diffusion suivante : Dest le coefficient de diffusion. Elle traduit donc un phénomène irréversible. C’est cette approche que nous suivons ici. Le paquet va donc s’étaler de façon isotrope à partir de O. Intéressons nous au rayon caractéristique du paquet de particules. Le phénomène de diffusion est extrêmement lent. \[D=\frac16\frac{\ell^2}{\tau}\], Le coefficient de diffusion d'une particule dans un fluide dépend directement du libre parcours moyen et de la durée entre deux collisions. D’autre part, si l’on suppose que \(x\) et \(f_x\) ne sont pas corrélés, on a \(\overline{xf_x}=\overline{x}\overline{f_x}=0\). L'équation de diffusion est : où Dest le coefficient de diffusion et s(x,t)représente une source, par exemple une source thermique provenant d'un phénomène de dissipation. destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Cependant le processus à l’œuvre est différent. On montre que la vitesse relative moyenne entre A et B vaut \(\overline{v_r}=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi \mu}}\) avec \(\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\), la masse réduite. \] La solution de cette équation différentielle linéaire s’écrit : Selon la loi de Fick, le coefficient de diffusion est le rapport entre le flux de matière diffusante, (c… Equation de conservation locale de particules (3D) div −→ j + ∂n ∂t = 0 Sans perte ni création de matière L. Menguy, PSI*, Lycée Montesquieu, Le Mans Diffusion de particules. \end{array} Nous proposons de calculer le libre parcours moyen dans un gaz à partir d’un modèle simpliste : le modèle des sphères dures. \end{array}\], Il ne s’agit pas de la vitesse des molécules mais bien de la vitesse d’ensemble d’une collection mésoscopique de particules. Dans ce cas, l’équation de diffusion devient \[\triangle n=0\] La densité de particules \(n(x,y,z)\) vérifie alors l’équation de Laplace. &=& D\,S\left[-\dfrac{\partial n}{\partial x}(x,t)+\dfrac{\partial n}{\partial x}(x+\text{d}x,t)\right]\\ On se propose d’exposer ici non pas l’approche d’Einstein mais plutôt celle de Paul Langevin qu’il a publiée dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences en 1908. Quand les paramètres intensifs varient dans le milieu d’un point à un autre et/ou au cours du temps, le système est hors équilibre thermodynamique. \[\frac{\text{d}N}{\text{d}t}(t)=\iiint_{\mathcal{V}}\frac{\partial n}{\partial t}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z\] On obtient : Les atomes sont représentés par des sphères indéformables de rayon \(r\) dont la distribution des vitesses est donnée par la loi de Maxwell-Boltzmann. L’équation de diffusion est la relation qui régit l’évolution spatio-temporelle de la densité de particules. Pour nous en convaincre nous allons considérer une marche aléatoire discrète sur un réseau carré de maille \(\ell\) (le libre parcours moyen). Considérons une particule P dont la position après \(k\) collisions est notée P\(_k\). \[ \text{div}(D\overrightarrow{\text{grad}}n)=\frac{\partial n}{\partial t}\] En effet, William Sutherland soumit un article en mars 1905, où cette relation était obtenue par une méthode similaire. puis prenons la moyenne sur un grand ensemble de particules On a donc \overline{\overrightarrow{\ell_k}}\cdot\overline{\overrightarrow{\ell_j}} = 0\] On obtient une relation de récurrence dite équation maitresse du processus : Elle est le résultat d’un bilan de matière associé à la loi de Fick. L’énoncé de la loi de Fick, formulé dans le cadre des solutions, remonte à 1855. A synthetic kinetic theory of gases experiment, Kinetic theory : understanding nature through collisions, Le mouvement brownien, "divers et ondoyant", Solutions to boundary value problems of the potential type by random walk method, Monte Carlo of Brownian motion with viscous drag, Le mouvement brownien et la théorie du potentiel, Les vols de Levy ou la diffusion non brownienne, Les probabilités et le mouvement brownien, Le mouvement brownien dans les différents champs de connaissance, Wendelin-Werner : Médaille Fields 2006 pour ses travaux sur le mouvement brownien. Le moteur de la convection est la poussée d’archimède qui, associée a des gradients thermiques, produit des écoulements de fluide. Un coefficient de diffusion est une grandeur caractéristique du phénomène de diffusion de la matière. \] Cette diffusion de particules est caractérisée par le coefficient de dif fusion D. Il y a consommation de particules le long du tuyau avec le coefficient α, en moles par secondes et par mètres, uniforme et constant. Cas unidimensionnel Tube de courant (S) ≠æu x (x) (x+dx) • ≠æä n(x,t) • ≠æä (x +dx,t) Fig. Il considère une particule sphérique de masse \(m\) et de rayon \(a\) en suspension dans un liquide et se mouvant à la vitesse \(\overrightarrow{v}\). La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire qui s'écrit en coordonnées cartésiennes Le résultat est illustré sur l'animation suivante. \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\] où \(\overline{\ell^2}\) désigne le carré moyen du libre parcours entre deux collisions. Eh bien oui ! Cas avec production et disparition de particules 2.3. 2019. Calcul de la fonction de partition électronique. La fonction s(x,y,t)est la source. \[\frac{\partial P}{\partial t} = Bien que la formule \eqref{eq:C3LibreParcoursMoyen} ne soit valable que pour les milieux peu denses, on peut conclure que dans un liquide les molécules se déplacent très peu entre deux collisions. \[ C’est FickL’énoncé de la loi de Fick, formulé dans le cadre des solutions, remonte à 1855. qui le premier énonça le fait que le courant de matière qui diffuse est proportionnel au gradient de concentration. \] Faire le lien avec l’inégalité de Heisenberg spatiale. Ce n’est qu’à la fin du dix-neuvième siècle que les physiciens ont commencé à s’intéresser sérieusement à la question et à soupçonner une origine atomique. \sigma=\pi (r_1+r_2)^2 Pour l’eau par exemple on a \(\ell\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}\) ce qui est comparable à la taille des molécules. Quel est l'ordre de grandeur du temps qu'il faut pour qu'un parfum emplisse de façon uniforme un pièce de \(3\times3\times3\;\mathrm{m^{3}}\)? \[\overline{\overrightarrow{\ell_k}\cdot\overrightarrow{\ell_j}} = Notes de cours: Diffusion & convection; Bilan de particules Vecteur densité de courant de particules; Bilan de particules à une dimension Cas de conservation; Cas général; Bilan de particules à trois dimensions Écriture intégrale; Écriture locale; Équation de diffusion particulaire Loi de Fick … On obtient ce que les mathématiciens appellent une équation différentielle stochastique. \quad\text{et}\quad \[\overline{x^2}=2Dt \qquad\text{avec}\qquad D=\frac{RT}{6\pi\eta a \mathcal{N}_a}\] En déduire l'équation de la diffusion : 2 Ë=D----â 2 . On appelle \(b\) le paramètre d’impact, c’est-à-dire la distance entre les deux droites qui portent les vitesses relatives des deux atomes. ©J.ROUSSEL - article sous licence Creative Commons. En physique, on décrit le comportement de la motion collective de micro-particules dans un matériau résultant d'un mouvement aléatoire de chaque micro-particule. Ce prisme a pour volume Une loi phénoménologique. Le phénomène est isotrope : on voit clairement que l’étalement ne suit pas une direction particulière mais toutes les directions. Phénomène de diffusion E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) … \[\overline{\overrightarrow{\ell_k}} = Nous proposons de calculer le libre parcours moyen dans un gaz à partir d’un modèle simpliste : le modèle des sphères dures. D=\frac16 \frac{\overline{\ell^2}}{\tau} Nous avons considéré que les particules effectuent des pas de longueur \(\ell\) constante. Enfin si l’on intègre la relation précédente au cours du temps, sachant que \(\overline{x\dot x} = 1/2\mathrm{d}(\overline{x^2})/\mathrm{d}t\) et en supposant \(\overline{x^2}(0) = 0\), on trouve. On rencontre ce phénomène dans de nombreuses situations comme, par exemple : La diffusion reste un phénomène assez lent en général. Cherchant à décrire le comportement collectif du paquet de particules nous nous intéressons tout d’abord au barycentre B du nuage de particules. Le déplacement issu de la \(k\)-ème collision est une quantité aléatoire mais de norme constante que l’on note \(\ell\) : \end{equation} mercredi 7 octobre 2020, par pierre, Version imprimable. On peut relier le vecteur densité de courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) au mouvement d’ensemble de ces particules. \[\text{d}\phi=\frac{n\times\text{d}\tau}{\text{d}t}=n(M,t)\overrightarrow{v}(M,t)\cdot\overrightarrow{\text{d}S} Dans le cas particulier d’un fluide isolé en équilibre thermodynamique \(v=0\) soit \(j_n=0\). \text{div}\overrightarrow{A} = Si l’on note \((x_k, y_k)\) les coordonnées du point après \(k\) déplacements, alors le (\(k\)+1)-ème pas est tel que : \[\begin{array}{rcl} En réalité la convection accélère le phénomène. \[\text{d}\tau=\text{d}S\times v\,\text{d}t\times\cos\theta=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\text{d}S}\;\text{d}t\] En régime stationnaire, la densité moléculaire ne dépend plus du temps : \(\partial n/\partial t=0\). de telle sorte que Et alors ? On fait les hypothèses simplificatrices suivantes : Pour simplifier notre propos limitons nous à un espace à deux dimensions, l’extension à trois dimensions ne posant pas de problème. \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{u}_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{u}_{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{u}_{z} \[N(t)=n(x,t)\,S\,\text{d}x\] Après \(N\) collisions, la particule se trouve en P\(_N\) telle que Il s’agit ici d’une moyenne temporelle. \[ \[ D\sim \frac{\ell^2}{\tau}=\ell\overline{v} \]. Le gradient d'un champ scalaire est un champ vectoriel qui s'écrit en coordonnées cartésiennes L'équation de diffusion est une équation aux dérivées partielles.En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. L’équilibre thermodynamique d’un système isolé suppose l’uniformité de tous ses paramètres intensifs dans l’espace et le temps. Diffusion de particules. \[\ell=\overline{v}\frac{1}{\nu_{\rm c}}=\frac{\overline{v}}{n\,\sigma\,\overline{v_{r}}}\] Il montre que si l’on admet qu’une particule en suspension est le siège de nombreuses collisions de la part des hypothétiques molécules de liquide, il est alors possible de déterminer le nombre d’Avogadro uniquement en vérifiant que le mouvement brownien est régit par la loi de diffusion ���Ԅ�p��޵Kߪ���P_�|�2>�i\���c��k�TL[bv=�F�W|�Q��JJ�F6D�0�B�A��}y�A������=�C�dcηa���>�h�׌HA�.�����1"Q�� b@��VL���Y`�?��)"��"J� \[N_{t}=n\,\sigma\,\overline{v_r}t\] \text{div}\overrightarrow{\jmath_{n}}+\frac{\partial n}{\partial t} &=& 0 Or, on montre que la vitesse relative moyenne est reliée simplement à la vitesse moyenne par la relation \(\overline{v_{\rm r}}=\sqrt{2}\overline{v}\) de sorte que l’on retiendra. En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. 2) 2D, le coefficient de diffusion, est homogène à une longueur /temps. D’une part, la particule étant en équilibre thermique avec le liquide, on a, en vertu du théorème d’équipartition de l’énergie On cherche une solution numérique de cette équation pour une fonction s(x,t)donnée, sur l'intervalle [0,1], à partir de l'instant t=0. … On a donc On peut montrer que la viscosité est une propriété macroscopique indépendante de la nature continue ou discontinue de la matière. Elle s'écrit, dans le cas d'un problème à une dimension, sous la forme (1). Ainsi on retrouve l’équation de diffusion \eqref{eq:C6EquationDiffusion}. Lois de la diffusion 2.1. 1 Problème physique: convection dans un fluide. \[ En d’autres termes, le courant de particules tend à rétablir l’uniformité de concentration. \[\begin{array}{rcl} 3. ment on arrive à établir les équations de di usion et de transport qui sont les principaux objets mathématiques étudiés dans ce cours. \[ \overrightarrow{\jmath_{n}}=-D\overrightarrow{\text{grad}}n=-D\overrightarrow{\nabla}n \] On note que dans un gaz peu dense, le libre parcours moyen est très grand devant la distance inter-atomique \(d=(V/N)^{1/3}\sim 3\,\mathrm{nm}\). Suivons l’atome A au fil de ses nombreuses collisions. Dans ce cas le flux de \(\overrightarrow{j_{n}}\) donne le flux molaire (en \(\mathrm{mol.s^{-1}}\)). Ainsi, ce nombre varie au cours du temps via Une loi phénoménologique n’est pas fondamentale.. Lorsqu’un système est dans une situation où la densité de particules varie spatialement, il est le siège d’un phénomène de transport de particules cherchant à rétablir l’uniformité de la concentration. \overrightarrow{\jmath_{n}} &=& -D\overrightarrow{\text{grad}}n \\ Autrement dit, si la trajectoire de B passe par le disque centré en A d’aire \(\sigma=4\pi r^2\), il y aura collision. On peut aussi écrire \(\overrightarrow{\jmath_{n}}=-D\overrightarrow{\nabla}c\) où \(c\) est la concentration molaire (en \(\mathrm{mol.m^{-3}}\)). La loi phénoménologique de Fick s’applique aussi bien aux solides (diffusion d’impuretés dans les solides) que dans les fluides. Bilan de particules : équation de conservation 2.2. \[ \tau\sim 10\,\mathrm{H} \] 5.2.1 Flux et densité de courant de particules … \frac14 \overrightarrow{u_x}-\frac14 \overrightarrow{u_x}+\frac14 \overrightarrow{u_y}-\frac14 \overrightarrow{u_y} \[m\frac{\mathrm{d}\overline{x\dot x}}{\mathrm{d}t}=m\overline{v^2}-6\pi\eta\,a \,\overline{x\dot x}+\overline{xf_x(t)}\] donne un ordre de grandeur du temps de diffusion. Dans l’eau, les molécules d’eau possèdent un libre parcours moyen de l’ordre de \(10^{-10}\;\mathrm{m}\) et une vitesse moyenne de l’ordre de \(10^2\;\mathrm{m.s^{-1}}\) d’où \(D\sim 10^{-8}\;\mathrm{m^2.s^{-1}}\). Il permet de prévoir la dépendance du coefficient de diffusion avec la température et la pression. En d’autres termes, si une fonction vérifie l’équation de diffusion tout en étant compatible avec les conditions aux limites, alors c’est la solution. Le coefficient de diffusion \(D\) s’exprime en \(\mathrm{m^{2}s^{-1}}\). On a donc \ell=\frac{\overline{v_2}}{n\,\sigma\,\overline{v_{r}}}=\frac{1}{n\sigma}\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}} Loi phénoménologique de Fick 2.4. Rappelons que dans notre modèle de marche aléatoire, chaque pas est indépendant des pas précédents de sorte que Flux de particules – Vecteur densité de courant 1.3. \ell=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\sigma \overline{p}}\] Nous proposons deux approches diérentes. Ce type de loi nommée loi de diffusion en mathématiques apparaît dans les systèmes décrivant un transport (masse, énergie, etc.) Jean Perrin reçu le prix Nobel en 1926 pour ses travaux sur le mouvement brownien. �a٣t�� Autrement dit, la probabilité qu'un point de l'espace soit visité tend-t-elle vers 1 lorsque \(N\to \infty\) ? Reliant le flux de matière au gradient de concentration, elle est analogue à l'équation de la chaleur introduite par Joseph Fourier [2] en 1822. En effet, William Sutherland soumit un article en mars 1905, où cette relation était obtenue par une méthode similaire. Exercices – Diffusion de particules Exercice 1 : Diffusion de neutrons, avec terme de création On étudie la diffusion unidirectionnelle de neutrons dans un barreau de plutonium cylindrique d’axe Ox et de section droite d’aire S, s’étendant entre les abscisses x = 0 et x = L. On note n(M,t) le nombre de neutrons par unité de volume. \[\overline{x\dot x}=\frac{RT}{6\pi\,\eta\,a\,\mathcal{N}_a}+\mathrm{C^{te}}\mathrm{e}^{-t/\tau} De façon formelle, \(\phi\) est le flux du vecteur \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) à travers la surface : Effet collectif de 5000 marches aléatoires (cliquer pour voir/arrêter l'animation). Délimitons, par la pensée, un volume \(\mathcal{V}\) fixe et indéformable puis notons \(N(t)\) le nombre de particules au sein de ce volume, à l’instant \(t\). Par ailleurs, on a \(\ell_k^2=\ell^2\). =\sum_k \ell_k^2+\sum_{k\neq j}\overrightarrow{\ell_k}\cdot\overrightarrow{\ell_j}\] où le terme \(-\alpha \overrightarrow{v}\) désigne la force moyenne qui tend à freiner la particule brownienne. Equation de Fick. Considérons un système constitué de particules en mouvement et donc soumis à un courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}(x,y,z,t)\) en tout point du système. I��H�̮��\�(�?Q{y ��d�:������J���q�����͹���,�lo���7��E`�8�n����u�#�*�#�����,�av� ��p�\'94���پ��j��Д��^l��׉�Wb����L2�mG�B�r��q��%�5����A-��l)�|`=Κ�=&^��R���(�R2 ��(������N��Q�{'s@�֫�mk��'�E@�̶maO_IR�D�G��N����G/;���Ϝ�}���G�Y�w�H�5��ׂl>\��� ���ǎ����^K�_�\K�[�y En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. Il serait plus juste d’appeler cette loi, relation de Sutherland-Einstein. L'art S'inspire De La Nature, Ostéopathe Amboise Hervé, Charme 9 Lettres, Camping L'orée Des Bois Royan, Groupe Biomag Vos Résultats, Le Petit Bain Hyères, Pic De Morgon Visorando, Tuto Guitare Rock Collection, Tribunal Du Travail, Juste Pour Avoir De Tes Nouvelles, Sphinx Colibri Piqure, Pv Assemblée Générale Constitutive Sarl Maroc, Masque Psg Covid, " />

équation de diffusion de particules

Bonjour tout le monde !
12 novembre 2017
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\quad\Rightarrow\quad \(\overrightarrow{\jmath_n}=n\mu \overrightarrow{f}-D \overrightarrow{\nabla}n\) où \(\mu\) désigne la mobilité (rapport de la vitesse sur la force). Finalement, si l’on suppose qu’il n’y a aucun processus de création ou d’annihilation de particules, la conservation de la matière implique Or pour un nombre important de particules cette probabilité est proportionnelle à la densité de particules. On peut se poser la question simple suivante : la particule va-t-elle parcourir tout l'espace lorsque le nombre de pas \(N\gg1\). Appelons \(P(x,y,t)\) la probabilité de trouver la particule en \((x,y)\) à l’instant \(t\). \[\overrightarrow{\ell_k}=\overrightarrow{\text{P}_{k-1}\text{P}_k} \quad\text{avec}\quad Cette équation s’appelle équation de Poisson et lorsque est nul on retrouve l’équation de Laplace. conclusion 2 : à une dimension, la concentration n(x, t) vérifie l'équation de la diffusion : j(x, t) j(x+dx, t) x x + dx x' x. Une façon d’éliminer le phénomène de convection consiste à s’affranchir de la poussée d’archimède en réalisant l’expérience en micro-gravité.. Nous n’étudions ici que le phénomène de diffusion moléculaire. Laissons donc Jean Perrin conclure ce chapitre important de l’histoire des idées : La théorie atomique a triomphé. En fait ce n'est pas une ligne "normale" de dimension 1. Si l’on note \(\overrightarrow{v}\) la vitesse mésoscopiqueIl ne s’agit pas de la vitesse des molécules mais bien de la vitesse d’ensemble d’une collection mésoscopique de particules. En exploitant l’expression classique de l’énergie de la particule libre, associer la relation de dispersion obtenue et la relation de de Broglie. En dimension trois, le même raisonnement aboutit à \[ Dans les fluides, il est souvent masqué par un autre phénomène de transport associé aux mouvements macroscopiques du fluide : la convectionLe moteur de la convection est la poussée d’archimède qui, associée a des gradients thermiques, produit des écoulements de fluide. où \(D\) désigne le coefficient de diffusion de particules. On a \[\frac{\text{d}}{\text{d}t}N(t)=\phi_{\text{entrant}} Cette goutte va se répandre en suivant une loi d’étalement dite loi de diffusion. Le mouvement Brownien fut découvert en 1827 par le botaniste anglais R. Brown. On peut tout a fait interpréter ce qui se passe à l’échelle macroscopique comme le résultat collectif d’un grand nombre de marches aléatoires suivies par les molécules d’encre. -me direz vous. L'équation de diffusion de particules dans un milieu homogène reliant la densité de courant de particules à leur concentration est donnée par la loi de Fick. Dans un fluide, les collisions inter-moléculaires sont nécessaires pour justifier le processus de thermalisation et tous les phénomènes de diffusion (thermique et moléculaire). 3 Équation de transport. R^2_\text{max}=\overline{x^2}+\overline{y^2}=\frac{L^2}{6} Cherchons à déterminer la loi d’étalement du paquet de particules à l’aide du modèle de la marche aléatoire discutée ci-dessus. \[ le mouvement de chaque particule est indépendant de celui des autres ; suite aux collisions, les particules changent de direction de façon aléatoire toutes les \(\tau\) secondes ceci indépendamment des directions précédentes (perte de mémoire). Plaçons nous dans le cas où \(\ell\) et \(\tau\) peuvent être considérés comme petits par rapport aux échelles d’observation macroscopiqueOn retrouve là les hypothèses du modèle continu utilisées en mécanique des fluides.. On peut alors écrire Cette vitesse est une grandeur moyenne et locale du point de vue macroscopique. Dans les conditions normales de pression et de température (\(T=300\,\mathrm{K}\) et \(\overline{p}=10^{5}\,\mathrm{Pa}\)) et en prenant \(r=10^{-10}\,\mathrm{m}\), on obtient mécanismes de diffusion des particules (on suppose que le système est sans mouvement macroscopique). Considérons un milieu unidimensionnel dont la densité de particules varie avec \(x\). Il apparaît alors des phénomènes de transport, qui tendent à rétablir l’équilibre. Ce type de processus stochastique donne naissance à l’échelle macroscopique à un phénomène de diffusion. \overline{x^2}=\int x^2 \mathrm{d}P=\frac{1}{L^2}\int x^2\;\mathrm{d}x \mathrm{d}y=\frac{L^2}{12} On suppose, pour simplifier, que les particules (atomes, molécules, ions) ont toutes leurs vitesses dirigées parallèlement à un axe Ox. \[D=\frac14\frac{\ell^2}{\tau}\] \begin{array}{rcl} L’équation de diusion est la relation qui régit l’évolution spatio-temporelle de la densité de particules. \frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}n(x,t)}{\partial x^{2}}\] Ainsi la fréquence de collisions \(\nu_{\rm c}\) correspondant au nombre de collisions par seconde, vaut %PDF-1.6 %���� Préliminaire mathématique : opérateur laplacien 1. Maintenant, si l’on suppose qu’il n’y a aucun processus de création ou d’élimination de particules au sein du volume \(\mathcal{V}\) (pas de réaction chimique, par exemple), le nombre \(N\) ne diminue que suite à une fuite de particules à travers la surface fermée \(\mathcal{S}\) délimitant le volume \(\mathcal{V}\) : Cette EDP d’ordre deux est dite équation de diffusion. Pour cela multiplions l’équation différentielle par \(x\) : La diffusion : un phénomène de transport à l’échelle microscopique 1.2. Dans un liquide, la densité comme le libre parcours moyen sont quasi indépendants de la pression et de la température. \[m\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=-6\pi\eta\,a \,v_x+f_x(t)\qquad\text{avec}\qquad v_x=\dot x\] Or d’après le théorème de la divergence Le volume balayé par le disque discuté ci-dessus pendant la durée \(t\) vaut \[\mathcal{V}_t=\sigma\sum_i v_{i}\Delta t_i=\sigma \overline{v_r}t\] où \(\overline{v_r}\) désigne la vitesse relative moyenneIl s’agit ici d’une moyenne temporelle. On considère le transport par un fluide d'une quantité scalaire définie par unité de volume .On suppose que le champ de vitesse est unidimensionnel, que le scalaire ne diffuse pas et est uniquement transporté par le fluide. Nous proposons deux approches différentes. Pour simplifier, en restant dans le cas de la diffusion du sucre, on considère qu'aucune molécule de sucre n'est créée dans ce volume. : La condition initiale est u(x,0). 100 0 obj <> endobj 55 0 obj <>stream Étant donné que les quatre (six en 3d) directions sont équiprobables, on a \tau=\frac{m}{6\pi\,\eta\,a}\] Il serait plus juste d’appeler cette loi, relation de Sutherland-Einstein. On retrouve la loi d’étalement en \(\sqrt{t}\). L'équa-tion traduisant la conservation du nombre de particules, à une dimension, prend la forme (2). \iiint_{\mathcal{V}}\text{div}\overrightarrow{A}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z Dans ce cas, le chemin parcouru par la particule est une marche aléatoire à pas indépendants dont l’allure est représenté sur l'anmation suivante. Le nombre \(N_t\) de collisions pendant la durée \(t\) correspond aussi au nombre d’atomes que l’on trouve dans le volume \(\mathcal{V}_t\) en supposant la densité volumique \(n\) uniforme : \[ Le libre parcours moyen augmente quand la pression diminue. \[ Par un bilan de particules, on établit l'équation de diffusion pour un problème à symétrie cylindrique. \[n=\frac{N}{V}=\frac{\overline{p}}{k_{B}T} La probabilité \(P(x,y,t+\tau)\) est donc donnée par le produit de la probabilité que la particule soit en \((x-\ell,y)\) à l’instant \(t\) et de la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(\overrightarrow{u_x}\), auquel on ajoute le produit de la probabilité que la particule soit en \((x+\ell,y)\) à l’instant \(t\) par la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(-\overrightarrow{u_x}\), etc. L’aire \(\sigma\) est appelée section efficace de collision. Identifier vitesse de groupe et vitesse de la particule. Plaçons par exemple 5000 particules au centre d’un carré de côté \(L\) et filmons l’évolution de ce paquet au cours de leur marche aléatoire. Utiliser l’équation de Schrödinger pour la partie spatiale φ(x). \] \end{array}\right. FEMTO - Cours de physique statistique. 3. \qquad\Longrightarrow\qquad chocs sont nombreux et les transports diffusifs efficaces (diffusion de particules, de la chaleur, de la quantité de mouvement). Cette vitesse est une grandeur moyenne et locale du point de vue macroscopique. La marche aléatoire est un modèle de base pour décrire les phénomènes de transport à l’échelle microscopique. Historiquement, le phénomène de diffusion fut abordé de façon phénoménologique par une description macroscopique. \iint_{\mathcal{S}}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{d}S} = On peut donc exprimer l’évolution temporelle de la dimension du nuage de particules : Une façon d’éliminer le phénomène de convection consiste à s’affranchir de la poussée d’archimède en réalisant l’expérience en micro-gravité. La vitesse d’étalement diminue au cours du temps. \quad\Rightarrow\quad Transport de matière : Diffusion de particules 0. \[\overrightarrow{\text{OB}}=\overline{\overrightarrow{\text{OP}_N}}=\sum_{k=1}^N \overline{\overrightarrow{\ell_k}}\] Par définition, \(j_{n}\) désigne le nombre de particules traversant une surface \(\text{d}S\) par unité de temps et par unité de surface. Par ailleurs, on a montré que \(D=\ell^2/6\tau\) en 3d de sorte que on a la loi de diffusion, La simulation suivante met en évidence cette loi : Elle consiste à simuler, dans un espace à deux dimensions, le mouvement aléatoire de 1000 particules, initialement situées en O. À chaque pas on calcule la distance quadratique moyenne puis on trace le graphe \(R^2=f(N)\). Il serait assez naturel d’exprimer la distance moyenne \(\overline{\text{OP}_N}\) mais le calcul n’est pas simple et il est préférable de calculer la distance quadratique moyenne Notre raisonnement s’inscrit donc dans le cadre du modèle continu des particules au point M à l’instant \(t\) et \(\overrightarrow{\text{d}S}\) l’élément de surface au voisinage de M, alors les particules qui traversent la section \(\text{d}S\) pendant \(\text{d}t\) se trouvent dans un prisme de base \(\text{d}S\) et dont les génératrices sont parallèles à \(\overrightarrow{v}\) et de longueur \(v\;\text{d}t\). L' équation de diffusion est une équation différentielle partielle. \frac{\ell^2}{4\tau}\left(\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}\right)\] \text{div}\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=\triangle f Ainsi on prévoit, comme le montre la simulation, que \(R^2\) croît linéairement au cours du temps, puis s'infléchit pour tendre vers la valeur maximale \(L^2/6\), lorsque les premières particules atteignent les bords. En effet, si l'on attend suffisamment longtemps, les particules se répartissent de façon homogène dans le cadre. Le phénomène de diffusion fut d’abord modélisé à l’aide d’une loi phénoménologiqueLoi de comportement qui permet de décrire, dans un certain domaine de validité, un phénomène. Pour quantifier un transport de particules, on définit une quantité appelé densité de courant de particules \(j_{n}\). Supposons que l’on dispose une goutte d’encre sur une surface liquide. \] Par construction \(\overline{\overrightarrow{f}(t)}=\overrightarrow{0}\). \phi_{\text{entrant}} &=& j_{n}(x,t)\,S-j_{n}(x+\text{d}x,t)S \\ 1.1.1 Établissement de l'équation de di usion On veut étudier l'évolution d'une population de particules dans un milieu matériel, comme par exemple des neutrons dans un c÷ur de réacteur nucléaire. 10.1 Flux de particules. \qquad\text{avec}\qquad Le même calcul pour \(y\) donne le même résultat de sorte que \[\nu_{\rm c}=\frac{N_t}{t}=n\,\sigma\,\overline{v_{r}} \quad [\mathrm{Hz}]\] \[ \text{en 1d}\quad R(t)&=&\sqrt{2D\;t} \[\tau=\frac{(L/2)^{2}}{6D}\] Par définition, le libre parcours moyen ℓℓ est la distance moyenne entre deux collisions successives. \[\overrightarrow{\text{OP}_N}=\sum_{k=1}^N \overrightarrow{\ell_k}\] Ainsi \(D\sim 10^{-5}\;\mathrm{m^2.s^{-1}}\) ce que confirme les valeurs du tableau 1. \[R(t)=\sqrt{\frac{\ell^2}{\tau}t}\] \[\text{OP}_N^2 =\left(\sum_{k=1}^N \overrightarrow{\ell_k}\right)^2 Loi de diffusion macroscopique simulée avec 1000 particules browniennes (cliquer pour voir/arrêter l'animation). Ainsi on a \(\overline{v_r}=\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}}\overline{v_2}\) et le libre parcours moyen de B dans le gaz s'écrit En réalité cette longueur est aléatoire et le résultat précédent doit être modifié. \qquad\text{avec}\qquad ||\overrightarrow{\ell_k}||=\ell\] \[\text{d}\phi=\overrightarrow{\jmath_{n}}\cdot\overrightarrow{\text{d}S}\] En d’autres termes, il n’y a pas de mouvement d’ensemble et donc pas de convection ce qui est tout a fait cohérent avec le fait qu’aucune direction n’est privilégiée. Intéressons nous au mouvement suivant \(x\) en projetant la seconde loi de Newton sur O\(x\) : Ainsi en moyenne le produit \(x\dot x\) vérifie c'est l'équation de la diffusion à une dimension. L’isotropie du processus se révèle macroscopiquement car il s’agit d’une propriété statistique. Soit u(x,y,t)la fonction vérifiant l'équation de diffusion suivante : Dest le coefficient de diffusion. Elle traduit donc un phénomène irréversible. C’est cette approche que nous suivons ici. Le paquet va donc s’étaler de façon isotrope à partir de O. Intéressons nous au rayon caractéristique du paquet de particules. Le phénomène de diffusion est extrêmement lent. \[D=\frac16\frac{\ell^2}{\tau}\], Le coefficient de diffusion d'une particule dans un fluide dépend directement du libre parcours moyen et de la durée entre deux collisions. D’autre part, si l’on suppose que \(x\) et \(f_x\) ne sont pas corrélés, on a \(\overline{xf_x}=\overline{x}\overline{f_x}=0\). L'équation de diffusion est : où Dest le coefficient de diffusion et s(x,t)représente une source, par exemple une source thermique provenant d'un phénomène de dissipation. destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Cependant le processus à l’œuvre est différent. On montre que la vitesse relative moyenne entre A et B vaut \(\overline{v_r}=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi \mu}}\) avec \(\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\), la masse réduite. \] La solution de cette équation différentielle linéaire s’écrit : Selon la loi de Fick, le coefficient de diffusion est le rapport entre le flux de matière diffusante, (c… Equation de conservation locale de particules (3D) div −→ j + ∂n ∂t = 0 Sans perte ni création de matière L. Menguy, PSI*, Lycée Montesquieu, Le Mans Diffusion de particules. \end{array} Nous proposons de calculer le libre parcours moyen dans un gaz à partir d’un modèle simpliste : le modèle des sphères dures. \end{array}\], Il ne s’agit pas de la vitesse des molécules mais bien de la vitesse d’ensemble d’une collection mésoscopique de particules. Dans ce cas, l’équation de diffusion devient \[\triangle n=0\] La densité de particules \(n(x,y,z)\) vérifie alors l’équation de Laplace. &=& D\,S\left[-\dfrac{\partial n}{\partial x}(x,t)+\dfrac{\partial n}{\partial x}(x+\text{d}x,t)\right]\\ On se propose d’exposer ici non pas l’approche d’Einstein mais plutôt celle de Paul Langevin qu’il a publiée dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences en 1908. Quand les paramètres intensifs varient dans le milieu d’un point à un autre et/ou au cours du temps, le système est hors équilibre thermodynamique. \[\frac{\text{d}N}{\text{d}t}(t)=\iiint_{\mathcal{V}}\frac{\partial n}{\partial t}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z\] On obtient : Les atomes sont représentés par des sphères indéformables de rayon \(r\) dont la distribution des vitesses est donnée par la loi de Maxwell-Boltzmann. L’équation de diffusion est la relation qui régit l’évolution spatio-temporelle de la densité de particules. Pour nous en convaincre nous allons considérer une marche aléatoire discrète sur un réseau carré de maille \(\ell\) (le libre parcours moyen). Considérons une particule P dont la position après \(k\) collisions est notée P\(_k\). \[ \text{div}(D\overrightarrow{\text{grad}}n)=\frac{\partial n}{\partial t}\] En effet, William Sutherland soumit un article en mars 1905, où cette relation était obtenue par une méthode similaire. puis prenons la moyenne sur un grand ensemble de particules On a donc \overline{\overrightarrow{\ell_k}}\cdot\overline{\overrightarrow{\ell_j}} = 0\] On obtient une relation de récurrence dite équation maitresse du processus : Elle est le résultat d’un bilan de matière associé à la loi de Fick. L’énoncé de la loi de Fick, formulé dans le cadre des solutions, remonte à 1855. A synthetic kinetic theory of gases experiment, Kinetic theory : understanding nature through collisions, Le mouvement brownien, "divers et ondoyant", Solutions to boundary value problems of the potential type by random walk method, Monte Carlo of Brownian motion with viscous drag, Le mouvement brownien et la théorie du potentiel, Les vols de Levy ou la diffusion non brownienne, Les probabilités et le mouvement brownien, Le mouvement brownien dans les différents champs de connaissance, Wendelin-Werner : Médaille Fields 2006 pour ses travaux sur le mouvement brownien. Le moteur de la convection est la poussée d’archimède qui, associée a des gradients thermiques, produit des écoulements de fluide. Un coefficient de diffusion est une grandeur caractéristique du phénomène de diffusion de la matière. \] Cette diffusion de particules est caractérisée par le coefficient de dif fusion D. Il y a consommation de particules le long du tuyau avec le coefficient α, en moles par secondes et par mètres, uniforme et constant. Cas unidimensionnel Tube de courant (S) ≠æu x (x) (x+dx) • ≠æä n(x,t) • ≠æä (x +dx,t) Fig. Il considère une particule sphérique de masse \(m\) et de rayon \(a\) en suspension dans un liquide et se mouvant à la vitesse \(\overrightarrow{v}\). La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire qui s'écrit en coordonnées cartésiennes Le résultat est illustré sur l'animation suivante. \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\] où \(\overline{\ell^2}\) désigne le carré moyen du libre parcours entre deux collisions. Eh bien oui ! Cas avec production et disparition de particules 2.3. 2019. Calcul de la fonction de partition électronique. La fonction s(x,y,t)est la source. \[\frac{\partial P}{\partial t} = Bien que la formule \eqref{eq:C3LibreParcoursMoyen} ne soit valable que pour les milieux peu denses, on peut conclure que dans un liquide les molécules se déplacent très peu entre deux collisions. \[ C’est FickL’énoncé de la loi de Fick, formulé dans le cadre des solutions, remonte à 1855. qui le premier énonça le fait que le courant de matière qui diffuse est proportionnel au gradient de concentration. \] Faire le lien avec l’inégalité de Heisenberg spatiale. Ce n’est qu’à la fin du dix-neuvième siècle que les physiciens ont commencé à s’intéresser sérieusement à la question et à soupçonner une origine atomique. \sigma=\pi (r_1+r_2)^2 Pour l’eau par exemple on a \(\ell\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}\) ce qui est comparable à la taille des molécules. Quel est l'ordre de grandeur du temps qu'il faut pour qu'un parfum emplisse de façon uniforme un pièce de \(3\times3\times3\;\mathrm{m^{3}}\)? \[\overline{\overrightarrow{\ell_k}\cdot\overrightarrow{\ell_j}} = Notes de cours: Diffusion & convection; Bilan de particules Vecteur densité de courant de particules; Bilan de particules à une dimension Cas de conservation; Cas général; Bilan de particules à trois dimensions Écriture intégrale; Écriture locale; Équation de diffusion particulaire Loi de Fick … On obtient ce que les mathématiciens appellent une équation différentielle stochastique. \quad\text{et}\quad \[\overline{x^2}=2Dt \qquad\text{avec}\qquad D=\frac{RT}{6\pi\eta a \mathcal{N}_a}\] En déduire l'équation de la diffusion : 2 Ë=D----â 2 . On appelle \(b\) le paramètre d’impact, c’est-à-dire la distance entre les deux droites qui portent les vitesses relatives des deux atomes. ©J.ROUSSEL - article sous licence Creative Commons. En physique, on décrit le comportement de la motion collective de micro-particules dans un matériau résultant d'un mouvement aléatoire de chaque micro-particule. Ce prisme a pour volume Une loi phénoménologique. Le phénomène est isotrope : on voit clairement que l’étalement ne suit pas une direction particulière mais toutes les directions. Phénomène de diffusion E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) … \[\overline{\overrightarrow{\ell_k}} = Nous proposons de calculer le libre parcours moyen dans un gaz à partir d’un modèle simpliste : le modèle des sphères dures. D=\frac16 \frac{\overline{\ell^2}}{\tau} Nous avons considéré que les particules effectuent des pas de longueur \(\ell\) constante. Enfin si l’on intègre la relation précédente au cours du temps, sachant que \(\overline{x\dot x} = 1/2\mathrm{d}(\overline{x^2})/\mathrm{d}t\) et en supposant \(\overline{x^2}(0) = 0\), on trouve. On rencontre ce phénomène dans de nombreuses situations comme, par exemple : La diffusion reste un phénomène assez lent en général. Cherchant à décrire le comportement collectif du paquet de particules nous nous intéressons tout d’abord au barycentre B du nuage de particules. Le déplacement issu de la \(k\)-ème collision est une quantité aléatoire mais de norme constante que l’on note \(\ell\) : \end{equation} mercredi 7 octobre 2020, par pierre, Version imprimable. On peut relier le vecteur densité de courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) au mouvement d’ensemble de ces particules. \[\text{d}\phi=\frac{n\times\text{d}\tau}{\text{d}t}=n(M,t)\overrightarrow{v}(M,t)\cdot\overrightarrow{\text{d}S} Dans le cas particulier d’un fluide isolé en équilibre thermodynamique \(v=0\) soit \(j_n=0\). \text{div}\overrightarrow{A} = Si l’on note \((x_k, y_k)\) les coordonnées du point après \(k\) déplacements, alors le (\(k\)+1)-ème pas est tel que : \[\begin{array}{rcl} En réalité la convection accélère le phénomène. \[\text{d}\tau=\text{d}S\times v\,\text{d}t\times\cos\theta=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\text{d}S}\;\text{d}t\] En régime stationnaire, la densité moléculaire ne dépend plus du temps : \(\partial n/\partial t=0\). de telle sorte que Et alors ? On fait les hypothèses simplificatrices suivantes : Pour simplifier notre propos limitons nous à un espace à deux dimensions, l’extension à trois dimensions ne posant pas de problème. \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{u}_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{u}_{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{u}_{z} \[N(t)=n(x,t)\,S\,\text{d}x\] Après \(N\) collisions, la particule se trouve en P\(_N\) telle que Il s’agit ici d’une moyenne temporelle. \[ \[ D\sim \frac{\ell^2}{\tau}=\ell\overline{v} \]. Le gradient d'un champ scalaire est un champ vectoriel qui s'écrit en coordonnées cartésiennes L'équation de diffusion est une équation aux dérivées partielles.En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. L’équilibre thermodynamique d’un système isolé suppose l’uniformité de tous ses paramètres intensifs dans l’espace et le temps. Diffusion de particules. \[\ell=\overline{v}\frac{1}{\nu_{\rm c}}=\frac{\overline{v}}{n\,\sigma\,\overline{v_{r}}}\] Il montre que si l’on admet qu’une particule en suspension est le siège de nombreuses collisions de la part des hypothétiques molécules de liquide, il est alors possible de déterminer le nombre d’Avogadro uniquement en vérifiant que le mouvement brownien est régit par la loi de diffusion ���Ԅ�p��޵Kߪ���P_�|�2>�i\���c��k�TL[bv=�F�W|�Q��JJ�F6D�0�B�A��}y�A������=�C�dcηa���>�h�׌HA�.�����1"Q�� b@��VL���Y`�?��)"��"J� \[N_{t}=n\,\sigma\,\overline{v_r}t\] \text{div}\overrightarrow{\jmath_{n}}+\frac{\partial n}{\partial t} &=& 0 Or, on montre que la vitesse relative moyenne est reliée simplement à la vitesse moyenne par la relation \(\overline{v_{\rm r}}=\sqrt{2}\overline{v}\) de sorte que l’on retiendra. En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. 2) 2D, le coefficient de diffusion, est homogène à une longueur /temps. D’une part, la particule étant en équilibre thermique avec le liquide, on a, en vertu du théorème d’équipartition de l’énergie On cherche une solution numérique de cette équation pour une fonction s(x,t)donnée, sur l'intervalle [0,1], à partir de l'instant t=0. … On a donc On peut montrer que la viscosité est une propriété macroscopique indépendante de la nature continue ou discontinue de la matière. Elle s'écrit, dans le cas d'un problème à une dimension, sous la forme (1). Ainsi on retrouve l’équation de diffusion \eqref{eq:C6EquationDiffusion}. Lois de la diffusion 2.1. 1 Problème physique: convection dans un fluide. \[ En d’autres termes, le courant de particules tend à rétablir l’uniformité de concentration. \[\begin{array}{rcl} 3. ment on arrive à établir les équations de di usion et de transport qui sont les principaux objets mathématiques étudiés dans ce cours. \[ \overrightarrow{\jmath_{n}}=-D\overrightarrow{\text{grad}}n=-D\overrightarrow{\nabla}n \] On note que dans un gaz peu dense, le libre parcours moyen est très grand devant la distance inter-atomique \(d=(V/N)^{1/3}\sim 3\,\mathrm{nm}\). Suivons l’atome A au fil de ses nombreuses collisions. Dans ce cas le flux de \(\overrightarrow{j_{n}}\) donne le flux molaire (en \(\mathrm{mol.s^{-1}}\)). Ainsi, ce nombre varie au cours du temps via Une loi phénoménologique n’est pas fondamentale.. Lorsqu’un système est dans une situation où la densité de particules varie spatialement, il est le siège d’un phénomène de transport de particules cherchant à rétablir l’uniformité de la concentration. \overrightarrow{\jmath_{n}} &=& -D\overrightarrow{\text{grad}}n \\ Autrement dit, si la trajectoire de B passe par le disque centré en A d’aire \(\sigma=4\pi r^2\), il y aura collision. On peut aussi écrire \(\overrightarrow{\jmath_{n}}=-D\overrightarrow{\nabla}c\) où \(c\) est la concentration molaire (en \(\mathrm{mol.m^{-3}}\)). La loi phénoménologique de Fick s’applique aussi bien aux solides (diffusion d’impuretés dans les solides) que dans les fluides. Bilan de particules : équation de conservation 2.2. \[ \tau\sim 10\,\mathrm{H} \] 5.2.1 Flux et densité de courant de particules … \frac14 \overrightarrow{u_x}-\frac14 \overrightarrow{u_x}+\frac14 \overrightarrow{u_y}-\frac14 \overrightarrow{u_y} \[m\frac{\mathrm{d}\overline{x\dot x}}{\mathrm{d}t}=m\overline{v^2}-6\pi\eta\,a \,\overline{x\dot x}+\overline{xf_x(t)}\] donne un ordre de grandeur du temps de diffusion. Dans l’eau, les molécules d’eau possèdent un libre parcours moyen de l’ordre de \(10^{-10}\;\mathrm{m}\) et une vitesse moyenne de l’ordre de \(10^2\;\mathrm{m.s^{-1}}\) d’où \(D\sim 10^{-8}\;\mathrm{m^2.s^{-1}}\). Il permet de prévoir la dépendance du coefficient de diffusion avec la température et la pression. En d’autres termes, si une fonction vérifie l’équation de diffusion tout en étant compatible avec les conditions aux limites, alors c’est la solution. Le coefficient de diffusion \(D\) s’exprime en \(\mathrm{m^{2}s^{-1}}\). On a donc \ell=\frac{\overline{v_2}}{n\,\sigma\,\overline{v_{r}}}=\frac{1}{n\sigma}\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}} Loi phénoménologique de Fick 2.4. Rappelons que dans notre modèle de marche aléatoire, chaque pas est indépendant des pas précédents de sorte que Flux de particules – Vecteur densité de courant 1.3. \ell=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\sigma \overline{p}}\] Nous proposons deux approches diérentes. Ce type de loi nommée loi de diffusion en mathématiques apparaît dans les systèmes décrivant un transport (masse, énergie, etc.) Jean Perrin reçu le prix Nobel en 1926 pour ses travaux sur le mouvement brownien. �a٣t�� Autrement dit, la probabilité qu'un point de l'espace soit visité tend-t-elle vers 1 lorsque \(N\to \infty\) ? Reliant le flux de matière au gradient de concentration, elle est analogue à l'équation de la chaleur introduite par Joseph Fourier [2] en 1822. En effet, William Sutherland soumit un article en mars 1905, où cette relation était obtenue par une méthode similaire. Exercices – Diffusion de particules Exercice 1 : Diffusion de neutrons, avec terme de création On étudie la diffusion unidirectionnelle de neutrons dans un barreau de plutonium cylindrique d’axe Ox et de section droite d’aire S, s’étendant entre les abscisses x = 0 et x = L. On note n(M,t) le nombre de neutrons par unité de volume. \[\overline{x\dot x}=\frac{RT}{6\pi\,\eta\,a\,\mathcal{N}_a}+\mathrm{C^{te}}\mathrm{e}^{-t/\tau} De façon formelle, \(\phi\) est le flux du vecteur \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) à travers la surface : Effet collectif de 5000 marches aléatoires (cliquer pour voir/arrêter l'animation). Délimitons, par la pensée, un volume \(\mathcal{V}\) fixe et indéformable puis notons \(N(t)\) le nombre de particules au sein de ce volume, à l’instant \(t\). Par ailleurs, on a \(\ell_k^2=\ell^2\). =\sum_k \ell_k^2+\sum_{k\neq j}\overrightarrow{\ell_k}\cdot\overrightarrow{\ell_j}\] où le terme \(-\alpha \overrightarrow{v}\) désigne la force moyenne qui tend à freiner la particule brownienne. Equation de Fick. Considérons un système constitué de particules en mouvement et donc soumis à un courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}(x,y,z,t)\) en tout point du système. I��H�̮��\�(�?Q{y ��d�:������J���q�����͹���,�lo���7��E`�8�n����u�#�*�#�����,�av� ��p�\'94���پ��j��Д��^l��׉�Wb����L2�mG�B�r��q��%�5����A-��l)�|`=Κ�=&^��R���(�R2 ��(������N��Q�{'s@�֫�mk��'�E@�̶maO_IR�D�G��N����G/;���Ϝ�}���G�Y�w�H�5��ׂl>\��� ���ǎ����^K�_�\K�[�y En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. Il serait plus juste d’appeler cette loi, relation de Sutherland-Einstein.

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